From cube-lovers-errors@mc.lcs.mit.edu  Tue Aug 18 17:36:34 1998
Return-Path: <cube-lovers-errors@mc.lcs.mit.edu>
Received: from sun28.aic.nrl.navy.mil by mc.lcs.mit.edu (8.8.8/mc) with SMTP
	id RAA10973; Tue, 18 Aug 1998 17:36:34 -0400 (EDT)
Precedence: bulk
Errors-To: cube-lovers-errors@mc.lcs.mit.edu
Mail-from: From cube-lovers-request@life.ai.mit.edu Tue Aug 18 16:28:43 1998
Date: Tue, 18 Aug 1998 16:28:28 -0400
From: michael reid <reid@math.brown.edu>
Message-Id: <199808182028.QAA24353@euclid.math.brown.edu>
To: cube-lovers@ai.mit.edu
Subject: minimal maneuvers for X symmetric positions

X  is the subgroup of the cube symmetry group which preserves
the U-D axis.  there are 128 positions which have X symmetry:

     the UR edge can go in any of the 8 positions  UR, RU, DR,
     RD, UL, LU, DL, LD; this determines the location of the
     edges UB, UL, UF, DR, DB, DL, DF.

     the FR edge can go in any of the 4 positions FR, RF, BL, LB;
     this determines the location of the edges FL, BR, BL.

     the UFR corner can go in any of the 4 positions UFR, UBL,
     DRF, DLB; this determines the location of all the corners.

any combination of these is possible, which gives 128 positions.
4 of the positions have more symmetry, namely M symmetry.
(these positions are  start, superflip, pons asinorum, and
pons asinorum composed with superflip.)

minimal maneuvers for the other positions are:

1.  F2 R  L' D2 F2 D2 R' L  F2 D2  (16q*, 10f*)

2.  U  F' B' R2 U' D' F' B  U  D  R2 F  B  D'  (16q*, 14f)
    U  F2 U2 F2 R  L  F2 U2 F2 U2 R' L' U   (13f*, 20q)

3.  U  F  B  R2 U  D  F  B' U' D' R2 F' B' D'  (16q*, 14f)
    U  F  B  U2 R2 U2 R2 F' B' R2 U2 R2 U   (13f*, 20q)

4.  F2 B2 U  D' R2 L2 U' D   (12q*, 8f*)

5.  F2 R2 F2 B2 R2 B2  (12q*, 6f*)

6.  U  F' B' R' L' F' B' R  L  F  B  R  L  U'  (14q*, 14f)
    U  F2 U2 F2 R  L  B2 D2 B2 U2 R' L' U   (13f*, 20q)

7.  U  F  B  R  L  F  B  R' L' F' B' R' L' U'  (14q*, 14f)
    U  F  B  U2 R2 D2 R2 F' B' L2 U2 L2 U   (13f*, 20q)

8.  F  R' U  B2 L' F  U  D' L' B  R2 U' F  L' U' D   (18q*, 16f*)

9.  F  U' F  R' D  F' D  F' R  L  B' U  B' U  L' B  D' B  U  D   (20q*, 20f)
    F2 R  F  B' D  B2 D' F2 B2 U  F2 U' F  B' R' B2  (16f*, 22q)

10.  F  R  F  D' F' B  R  F' U' B' R  L' F  U' D' F' B' R2 U   (20q*, 19f)
     U  F' B' R  F2 U  D' L2 F' U' D' F2 R' U' D  R  L' D2  (18f*, 22q)

11.  F  R  D  R' F' U  B' L  U' D  L' F  D' B  R  U' R' B'  (18q*, 18f*)

12.  F  R' B  R' L  U' R  L' U  B  R  L' D' B' L  F'  (16q*, 16f)
     F  R2 F2 U' D  R' U2 D2 L' F2 L2 U' D  F   (14f*, 20q)

13.  F  R' L' U' F  B' R' L  F2 U2 F  B  D' R  L  U2 B'  (20q*, 17f)
     F  U2 F2 B2 R' L  F2 U  F2 B2 U  F2 R  L' D2 F   (16f*, 24q)

14.  U  F  B' U' R  F' R' B  R' U2 R' F  R' B' R  U' F' B  U   (20q*, 19f)
     U  F2 R' L' F  D2 R' L  B2 D' F' B' R' U  D' R' L  U2  (18f*, 22q)

15.  F  B  R  F2 U' D  R2 B' U' D' L' U  D' R' L  U  R2  (20q*, 17f*)

16.  F  B  U  D  R2 L2 U  D  F  B   (12q*, 10f*)

17.  U2 D2  (4q*, 2f*)

18.  U  F  B  R2 U  D  F' B  U' D' R2 F' B' D'  (16q*, 14f)
     U  F  B  D2 R2 D2 R2 F' B' R2 D2 R2 U   (13f*, 20q)

19.  U  F' B' R2 U' D' F  B' U  D  R2 F  B  D'  (16q*, 14f)
     U  F2 D2 F2 R  L  F2 D2 F2 D2 R' L' U   (13f*, 20q)

20.  F2 R2 F2 B2 R2 B2 U2 D2  (16q*, 8f*)

21.  F2 B2 U  D' R2 L2 U  D'  (12q*, 8f*)

22.  U  F  B  R' L' F  B  R' L' F  B  R' L' U'  (14q*, 14f)
     U  F  B  D2 R2 U2 R2 F' B' L2 D2 L2 U   (13f*, 20q)

23.  U  F' B' R  L  F' B' R  L  F' B' R  L  U'  (14q*, 14f)
     U  F2 D2 F2 R  L  B2 U2 B2 D2 R' L' U   (13f*, 20q)

24.  F  R' L' U' L2 B2 R  L  F' B  R' L  D' R  L  U2 F'  (20q*, 17f)
     F  U2 F2 B2 R  L' B2 U' R2 L2 U  F2 R  L' D2 B'  (16f*, 24q)

25.  F  R2 D  F' U' R  U2 D2 L' U  B  D' L2 B'  (18q*, 14f*)

26.  F  U  R' U  L' U' L  D  R  L  U  R  D' R' D  L' D  B   (18q*, 18f)
     F  B  R  F2 U' D  R2 B' U' D' R' U' D  R  L' D  L2  (17f*, 20q)

27.  F  R' F' B  L' F  U' F  B  U2 F  B  U' R' B  R  L' F  R'  (20q*, 19f)
     U  F' B' R  F2 U  D' L2 F' U' D' F2 R' U' D  R  L' U2  (18f*, 22q)

28.  F  U' R  B  R  F  B' U' F  U' D  L' D  R  L' B2 R' U  F'  (20q*, 19f)
     F2 R  F  B' D  B2 U' R2 L2 D  B2 U' F' B  L' F2  (16f*, 22q)

29.  F  R2 U' R  U  F' U  D' L  U' F' U  F2 L' U  D'  (18q*, 16f*)

30.  F  R' F' B  L' F  U  F  B  U2 F  B  U  L' F  R' L  B  L'  (20q*, 19f)
     F  B' R  F  B  D  L2 F  B' U2 L' U  D  R2 F2 B' R  L'  (18f*, 22q)

31.  F  B' U  R  D  B' U  D' R  D' F' D' R  B2 U' D' R' L' U   (20q*, 19f)
     U  F2 R' L' F  D2 R' L  B2 D' F' B' R' U  D' R' L  D2  (18f*, 22q)

32.  U  D  F2 B2 U  D' F2 B2 D2  (14q*, 9f)
     F2 R2 F2 B2 R2 F2 R2 L2  (8f*, 16q)

33.  F2 B2 U  D' F2 B2 U' D   (12q*, 8f*)

34.  F  B  R  L  F  B  R' L' F' B' R' L' U' F2 B2 R2 L2 D'  (22q*, 18f)
     F  B  R  F2 B2 U2 D2 L' F' B' U2 R' L' F2 R' L' U2  (17f*, 24q)

35.  F  R  F  L  D  F' L' F  B' R' L  F' B  R  F  U  L' B' L  F   (20q*, 20f)
     F2 U  F  B  D2 R2 B2 D2 L2 F' B' U2 R2 D  F2  (15f*, 24q)

36.  U2 F2 B2 R2 L2 D2  (12q*, 6f*)

37.  F2 B2 R2 L2  (8q*, 4f*)

38.  F  U' B' D' F2 U' F' U' D2 F  U2 F' D' F  U' B' L2 D'  (22q*, 18f)
     F2 R2 L2 U  R  L  F2 U  D  L2 U  D  B2 R  L  U  B2  (17f*, 24q)

39.  F2 U  F  B  D2 F  B  R2 L2 D' B2 U' D' R2 U' D'  (22q*, 16f*)

40.  U  F  R  U  F' B2 R  F  D' R' F' L' F2 R  D  R  L2 D2  (22q*, 18f)
     U2 F  U2 R' L  F2 U' B2 R' L  D2 B' U2 D2 B  D2  (16f*, 24q)

41.  F  U2 R' L  F2 U' B2 R' L  D2 B' U2 D2 B   (20q*, 14f*)

42.  F  B  R  F2 U  D' L2 F' U  D  L  U' D  R  L' U' L2  (20q*, 17f*)

43.  F  B  R  F  B' R' L  B' U' D' R' U2 B2 U2 R  L  F  B' U   (22q*, 19f*)

44.  F  U  D  F  B' U2 R' L  B' R' L  F  B' R' U' D' F'  (18q*, 17f)
     F  R2 U  D  R  U' D  F2 R  L' D  R  L' U2 R2 F'  (16f*, 20q)

45.  F  R  L  U  B2 R2 U  D' R' L' U  D' R  U' D' L2 F'  (20q*, 17f)
     F  R2 U  D' B2 R2 L  F2 B2 L' B2 U' D  R2 F   (15f*, 22q)

46.  F  B  R  F  B' R' L  B' R2 U' D' R2 L  U2 F  B' R2 U   (22q*, 18f*)

47.  F  R' F  R2 L' B' D  R' U' B  L  F' R2 B2 L2 D' F2  (22q*, 17f*)

48.  F2 B2 U  D' F2 B2 U  D'  (12q*, 8f*)

49.  U  D  F2 B2 U  D' F2 B2 U2  (14q*, 9f*)

50.  F  B  R  F2 B2 U2 R  L  B2 R  L  U2 L  F  B  R2  (22q*, 16f)
     F  B  R  F2 R2 B2 U2 L2 F2 R2 U2 L' F  B  L2  (15f*, 24q)

51.  F  B  R' L' F  B  U  F2 B2 R2 L2 D  R  L  F' B' R  L   (22q*, 18f)
     F  B  R  F2 B2 U2 D2 L' F' B' U2 R' L' F2 R' L' D2  (17f*, 24q)

52.  U2 F2 B2 R2 L2 U2  (12q*, 6f*)

53.  F  B  R  F2 R' L' D2 F2 B2 R  L  B2 L  F  B  L2  (22q*, 16f)
     F2 U  F2 R  U2 F2 B2 R2 L2 U2 L  B2 D  B2  (14f*, 24q)

54.  F  U' F  L' F' D  F' R' L  U' D  F  R' L  D  R' D  L' F' L  U' L
                                                                  (22q*, 22f)
     F  B  R  F2 B2 U2 D2 L' U2 R2 U2 F  B  U2 R2 U2 R2  (17f*, 28q)

55.  F  U2 R' L  B2 U  F2 B2 U' F2 R' L  U2 B'  (20q*, 14f*)

56.  F  U  D  R  U' D  R' L  U  F' B  R2 F' B  R' L  U2 B'  (20q*, 18f)
     F  R  F2 R  U  L  D  B2 U' R' D  F2 B2 D2 L2 B'  (16f*, 22q)

57.  F  R  L  U  R' D' F' B' U  L  F' B' R  F' B' D' F  R  U  R   (20q*, 20f)
     F  U' L  U  L  F2 D  B2 U' D  B  D' R' B' L2 U' B  L2  (18f*, 22q)

58.  F  B  R  F  B' R' L  B' U' D' L  F  B' D2 F2 L2 F2 U'  (22q*, 18f*)

59.  F  R2 L2 F' U2 R' L  B2 D  F2 R  L' U2 B'  (20q*, 14f*)

60.  F  U  D  F  B' U2 R' L  B' R' L  F  B' R' U' D' F' U2 D2  (22q*, 19f)
     U2 F  R2 L2 F' U2 R' L  B2 D  F2 R  L' U2 B' D2  (16f*, 24q)

61.  F  B  R  F  B' R' L  B' U' D' L  F  B' D2 B2 L2 B2 U'  (22q*, 18f*)

62.  F  B  R  F  B' R' L  B' R2 U' D' L  D2 F  B' L2 U'  (20q*, 17f*)

63.  F  B  U  D  R  L  F  B  U  D  R  L   (12q*, 12f*)

64.  F  B  U  D  R  L  F' B' U' D' R' L' U2 D2  (16q*, 14f*)

65.  U  F2 R  L' F  B' U2 B2 R  L  D2 R2 D'  (18q*, 13f*)

66.  U  F2 R' L  F' B  D2 B2 R' L' U2 R2 D'  (18q*, 13f*)

67.  F  B  U2 F  B  R  L' F  B  D2 R' L' F2 U' D'  (18q*, 15f)
     F  B' R  L  F' B  R2 B2 L2 U' D' L2 F2 R2  (14f*, 20q)

68.  F  B  U  D  R  L  F  B  U  D' R2 L2 D2 R' L'  (18q*, 15f)
     F  B' R  L  F' B  R2 F2 R2 U  D  R2 B2 R2  (14f*, 20q)

69.  U  F2 R  L  F  B  R  L  U  D  F2 U'  (14q*, 12f*)

70.  U  F2 R' L' F' B' R' L' U' D' F2 U'  (14q*, 12f*)

71.  F  R' F' B  R' B' L' F  B  U  R' L  D  B  U  L  D  L  D' R'  (20q*, 20f)
     F  U  R  F' B  U2 D  F' U' D  R  F  U' D  L' U' F' R2 L2  (19f*, 22q)

72.  F  R  B  D  F  U  B  R' L  F' D' F  B' R' B  R2 D   (18q*, 17f*)

73.  U  F' U  D' F' B  D  F  B  R' U2 F' B  L2 D' R' L' U   (20q*, 18f)
     F  B' R  U2 R  D2 R' U  D' F  R2 D2 F  R' L' U2 D'  (17f*, 22q)

74.  F  R2 U' D  B2 L  U' D' F  B  R2 B  U  D' F  B' U  R' L'  (22q*, 19f*)

75.  F  U  L  U  F' R' L' U  B' L' F' U' D  B' U' D' R2 U' D'  (20q*, 19f*)

76.  U  F  R  L' F' B  L' U' D' F  D2 R  L' F2 D  R  L  U   (20q*, 18f)
     U  F  B  R' U2 F2 R' U  D' B  L2 F' R2 B' R' L  D2  (17f*, 22q)

77.  F2 R  L' U2 B  R' L' B2 D' R  L' U' D  R  F  B  D   (20q*, 17f*)

78.  F  B  U  D  R  L  F' B' U' D' R' L'  (12q*, 12f*)

79.  F  B  U  D  R  L  F  B  U  D  R  L  U2 D2  (16q*, 14f*)

80.  U  F2 U  D' F' B' R' L' F' B' D2 B2 U'  (16q*, 13f*)

81.  U  F2 U  D' F  B  R  L  F  B  U2 B2 U'  (16q*, 13f*)

82.  F  U' B' L' B' U  F  U  D' L  D  R' B' R' D' L  D2  (18q*, 17f)
     F  B' R  L  F' B  R2 F2 R2 U' D' L2 F2 L2  (14f*, 20q)

83.  F  B  U  D  R  L  F  B  U2 F2 B2 U  D' R' L'  (18q*, 15f)
     F  B' R  L  F' B  R2 B2 L2 U  D  R2 B2 L2  (14f*, 20q)

84.  U  F  B  R' L' U  D  F' B' U  D  F' B' U'  (14q*, 14f)
     U  F2 R' L' F' B' R' L' U' D' F2 U  D2  (13f*, 16q)

85.  U  F  B  R  L  U' D' F  B  U' D' F' B' U'  (14q*, 14f)
     U  F2 R  L  F  B  R  L  U  D  F2 U  D2  (13f*, 16q)

86.  F  R2 U' D  B2 L  F' B' U' R  L' U' D  R' B2 R  L  U' D'  (22q*, 19f*)

87.  F  R2 U' D  B2 L  U' D' F  B  R2 F  U' D  F' B  D  R' L'  (22q*, 19f*)

88.  U  F' R  U  L  U' R  F' U' R  U  R  L' B' R' L' F' D   (18q*, 18f)
     F  B' R  U2 R  D2 R' U  D' F  R2 D2 F  R' L' D   (16f*, 20q)

89.  F  R' F' R  U  D' F' D' F' R' U' L' B' U  L' F' D' L   (18q*, 18f)
     U  F  B  R' U2 F2 R' U  D' F  U2 F' D2 F' R' L  U2  (17f*, 22q)

90.  F  U  L  U  F' R' L' U  B' L' F' U' D  B' U' D' R2 U  D   (20q*, 19f)
     F  U  R  D' R2 U2 F  U  D  B  D2 L2 U' L  D  B  R  L   (18f*, 22q)

91.  U2 D2 L  F2 U' D  R2 B  U' D' R  L  F2 R  U  D' R' L  U  F' B' (26q*, 21f)
     F  U2 R  L  D  F2 U  R2 D  F2 D  F' B' U2 L  F2 R2 B2 U' D   (20f*, 28q)

92.  F  B' R  F2 L  B2 R' U' D  F  L2 U2 F  R' L' U   (20q*, 16f*)

93.  F  B' U2 L  F  B  L2 U  F  B' U' D  B' R' L' U  R2  (20q*, 17f*)

94.  F  B  U  D  R' L' U2 F' B' U' D' R  L  U2  (16q*, 14f*)

95.  F  B  U  D  R' L' U2 F  B  U  D  R' L' D2  (16q*, 14f*)

96.  F  B  R  L  F  B  R2 U' F2 B2 R2 L2 D' R2 U' D'  (22q*, 16f*)

97.  F  R' B  L  U  B  R  U  D  L  F  D  R  F  L' B  R2 L2  (20q*, 18f)
     F2 R  L  F  B  R  L  U  D  F2 U' F2 B2 R2 L2 D'  (16f*, 22q)

98.  F  B  U  D  R' L' F' B' U  D  R  L  U2 D2  (16q*, 14f*)

99.  F  B  U  D  R' L' F  B  U' D' R' L'  (12q*, 12f*)

100.  F  R  L  B' R' L' B  U' D' F' B' U' D' F' R' L' F  R  L  B'  (20q*, 20f)
      F  B  R  L  F  B  U  D' F2 U' F2 B2 R2 L2 D' F2 U2  (17f*, 24q)

101.  F  B  R  F' B' R' L  F  B  R  L  U  D  F  B  R  F  B  L2  (20q*, 19f)
      F2 U  F  B' U2 R  L  F  B' L2 F2 U' D' B2 D' F2  (16f*, 22q)

102.  F  U  D' F  U  D' R2 U2 L' F2 U  D' L2 F  R  L  U  B'  (22q*, 18f*)

103.  F  R  B  L  D  F' B  L' U' D  F' B2 U  D' B' D' R' B' U'  (20q*, 19f*)

104.  F  R' U' D' R  D' F' D' R  U' D' L  U' B' U' L  U' D' L' B   (20q*, 20f)
      F  B' R  D2 L  F2 B2 R' F2 R' U' D  B  U2 F2 R' L  D'  (18f*, 24q)

105.  F  B' U2 R  F  B  R2 U' D2 F  B' U' D  B' R' L' U  L2  (22q*, 18f*)

106.  F  R  U' D2 F' B  R' B' R  L' D  B  R  L' U' L' F'  (18q*, 17f*)

107.  F  U2 R' L  F2 U  R  L  F' B' D2 F' R' L  F  B' R' U  D   (22q*, 19f*)

108.  F  R  L  U' R  U2 B  R' F  L  B' L' B  L  D' F  B' U' F  D' F'
                                                                   (22q*, 21f)
      F  B' R  U  D' B2 R2 B' R  L' D  F2 D  F2 B2 U' L2 D'  (18f*, 24q)

109.  F  B' U2 L  F' B' D' F' B  U' D  B  U2 R  L  D  L2  (20q*, 17f*)

110.  F  B  U  D  R' L' U2 F  B  U  D  R' L' U2  (16q*, 14f*)

111.  F  B  U  D  R' L' U2 F' B' U' D' R  L  D2  (16q*, 14f*)

112.  F2 U  R  L' D2 F  B  R  L' B2 R2 U' D' L2 D' B2  (22q*, 16f*)

113.  F  B  R  L  F  B  R2 U' F2 B2 R2 L2 D' R2 U  D   (22q*, 16f*)

114.  F  B  U  D  R' L' F  B  U' D' R' L' U2 D2  (16q*, 14f*)

115.  F  B  U  D  R' L' F' B' U  D  R  L   (12q*, 12f*)

116.  F  B  R  F  B  R  L' F' B' R' L' U  D  F' B' L  F  B  R2  (20q*, 19f*)
      F2 U  F  B' U2 R  L  F  B' L2 F2 U  D  F2 D' B2  (16f*, 22q*)

117.  F  B  R  L  F  B  U  D' F2 U' F2 B2 R2 L2 D' F2 D2  (24q*, 17f*)

118.  F  B  R  F  B' R' L  F  L2 F  B  U' D' L  D2 F  B' L2 D   (22q*, 19f*)

119.  F  B  R2 F  B  U' F  B' D' L' U' B  R' L' D' B  L  B  D   (20q*, 19f*)

120.  F  B' U2 R  F  B  R2 U  F' B  U' D  F' R' L' U  R2  (20q*, 17f*)

121.  F  R  L' U' R2 D  B' L' B' D  B' U' F  D  B' D  R  U  R' U' D
                                                                   (22q*, 21f)
      F  B' R  U  D' F  L2 F  R2 L2 B' D2 F' R  L' U  L2 U2  (18f*, 24q)

122.  F  R  L' B  R  L' U2 R2 D' F2 R' L  D2 F  U  D  R  F'  (22q*, 18f*)

123.  F  B' U2 R  F  B  R2 D  F  B' U  D' F2 B  R' L' U  R2  (22q*, 18f*)

124.  F  R' D' R  F  R' L2 U  B  U' R' U  R' L' U' D' F' B' D  F2  (22q*, 20f)
      F  B  R' F2 U2 R' U' D  B  R2 B' U2 F' U2 D2 R  L' D   (18f*, 24q)


as usual, when there are two maneuvers are given, this means that no
maneuver is simultaneously minimal in both metrics.  superflip composed
with four spot is #91. many of these are locally maximal.

local maxima in the quarter turn metric:

#1, 4, 8, 9, 10, 15, 20, 21, 24, 25, 27, 29, 30, 31, 33, 34, 38,
39, 40, 41, 42, 43, 46, 47, 48, 50, 51, 53, 55, 58, 60, 61, 62,
64, 67, 68, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 82, 83, 86, 90, 91, 92,
93, 94, 95, 96, 98, 102, 103, 105, 107, 108, 110, 111, 112, 113,
114, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124.

(strong) local maxima in the face turn metric:

#8, 10, 11, 16, 29, 30, 31, 34, 38, 39, 43, 46, 51, 54, 58, 61, 64,
71, 72, 75, 77, 79, 86, 91, 93, 94, 95, 98, 100, 103, 104, 107, 110,
111, 114, 117, 118, 119, 121.

mike